Une suite (un) converge vers un réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes un à partir d'un certain rang.
Notation :
lim(n→+∞) un = ℓ
Cela signifie que plus n devient grand, plus un se rapproche de ℓ.
La convergence d'une suite est un concept fondamental en analyse. Définition précise (définition ε-N) :
La suite (un) converge vers ℓ si pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tous n ≥ N, on a |un - ℓ| < ε.
Cette définition garantit que à partir d'un certain rang N, tous les termes de la suite sont à une distance inférieure à ε de la limite ℓ.
Soit un = 1/n. Cette suite converge vers 0.
Pour tout ε = 0,01, on peut choisir N = 100. Alors pour tout n ≥ 100, |un - 0| = 1/n ≤ 1/100 = 0,01 < ε.
Une suite diverge si elle n'est pas convergente. Elle peut :
La suite (un) diverge vers +∞ si pour tout M > 0, il existe un rang N tel que pour tous n ≥ N, un > M.
Exemple : un = n diverge vers +∞
La suite (un) diverge vers -∞ si pour tout M < 0, il existe un rang N tel que pour tous n ≥ N, un < M.
Exemple : un = -n diverge vers -∞
Une suite peut osciller sans converger ni diverger vers l'infini.
Exemple : un = (-1)n oscille entre -1 et 1
Soit (un), (vn), (wn) trois suites. Si :
Alors : lim(n→+∞) vn = ℓ
Ce théorème est puissant car il permet de déterminer la limite d'une suite en la "comprimant" entre deux suites dont on connaît les limites.
Soit vn = cos(n)/n. Montrer que lim(n→+∞) vn = 0.
On sait que -1 ≤ cos(n) ≤ 1
Donc : -1/n ≤ cos(n)/n ≤ 1/n
Or lim(n→+∞) -1/n = 0 et lim(n→+∞) 1/n = 0
Par le théorème des gendarmes : lim(n→+∞) cos(n)/n = 0
Soit (un) et (vn) deux suites avec un ≤ vn pour tout n ≥ n₀.
Ces théorèmes permettent d'utiliser une relation d'ordre pour transférer les propriétés de limite d'une suite à une autre.
Si un ≥ vn pour tout n et si lim(n→+∞) un = +∞, alors la minoration garantit que vn "monte" aussi vite qu'une suite divergente.
Si un ≤ vn pour tout n et si lim(n→+∞) vn = -∞, alors un doit aussi diverger vers -∞.
Exemple : Soit un = n² + sin(n). Montrer que lim(n→+∞) un = +∞.
On a : n² + sin(n) ≥ n² - 1 (puisque sin(n) ≥ -1)
Or lim(n→+∞) (n² - 1) = +∞
Par comparaison : lim(n→+∞) un = +∞
| Opération | Limite |
|---|---|
| un + vn | ℓ + ℓ' (sauf si (+∞) + (-∞) : FI) |
| un × vn | ℓ × ℓ' (sauf si ∞ × 0 : FI) |
| 1/vn (si vn ≠ 0) | 1/ℓ' si ℓ' ≠ 0 ; +∞ ou -∞ si ℓ' = 0 |
| un/vn | ℓ/ℓ' (sauf si ∞/∞ ou 0/0 : FI) |
Cas d'indétermination (FI) : ∞/∞, ∞ - ∞, 0 × ∞, 0/0
Énoncé : Soit vn = cos(n)/n. Montrer que lim(n→+∞) vn = 0.
Solution :
Pour tout n > 0 : -1 ≤ cos(n) ≤ 1
Donc : -1/n ≤ cos(n)/n ≤ 1/n
Or, lim(n→+∞) -1/n = 0 et lim(n→+∞) 1/n = 0
Par le théorème des gendarmes, lim(n→+∞) vn = 0
Énoncé : Calculer lim(n→+∞) (3n² + 2n + 1)/(2n² - 5)
Solution :
(3n² + 2n + 1)/(2n² - 5) = [n²(3 + 2/n + 1/n²)]/[n²(2 - 5/n²)]
= (3 + 2/n + 1/n²)/(2 - 5/n²)
Quand n → +∞ : (3 + 0 + 0)/(2 - 0) = 3/2
Énoncé : Soit un = 5 × (2/3)n. Déterminer la limite.
Solution :
-1 < 2/3 < 1, donc lim(n→+∞) (2/3)n = 0
Par les opérations sur les limites : lim(n→+∞) un = 5 × 0 = 0
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.
f est continue en a si :
lim(x→a) f(x) = f(a)
Cela signifie que la limite de f en a existe et égale la valeur f(a).
La continuité exprime l'idée intuitive qu'on peut tracer le graphe sans "lever le crayon".
Définition ε-δ : f est continue en a si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tous x ∈ I avec |x - a| < δ, on a |f(x) - f(a)| < ε.
Cette définition garantit qu'en se rapprochant de a (à distance inférieure à δ), les images f(x) se rapprochent de f(a) (à distance inférieure à ε).
Exemple : f(x) = x² est continue en x = 2.
On a lim(x→2) x² = 4 = f(2), donc f est continue en 2.
f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Une fonction continue sur tout un intervalle a des propriétés très fortes :
Théorème : Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f est continue sur I.
Conséquence : La réciproque est fausse. Exemple : f(x) = |x| est continue en 0 mais non dérivable.
Si f est dérivable en a, alors f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)]/h existe.
Cela signifie que le taux d'accroissement se rapproche d'une valeur finie. Donc f(a+h) - f(a) se rapproche de 0 quand h → 0, ce qui signifie que f est continue en a.
f(x) = |x| : continue partout mais pas dérivable en 0
À gauche de 0, la pente est -1. À droite, la pente est +1. Il n'y a pas de tangente unique.
Si une fonction n'est pas continue, elle ne peut pas être dérivable. Mais une fonction peut être continue sans être dérivable (à cause d'un "coin" ou d'une "pointe").
Les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine :
Si f et g sont continues sur I, alors :
Tout polynôme P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀ est continu sur ℝ car c'est une combinaison de fonctions continues.
Une fonction rationnelle f(x) = P(x)/Q(x) est continue sur ℝ sauf aux points où Q(x) = 0.
√x est continue sur [0 ; +∞[. Il est important de noter que √x n'est pas définie pour x < 0 dans les réels.
eˣ, sin(x), cos(x) sont continues sur ℝ. Ce sont des fonctions "lisses" sans interruptions.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.
Si f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) < 0, alors il existe c ∈ ]a ; b[ tel que f(c) = 0.
Ce théorème est l'un des plus importants de l'analyse. Il formalise l'idée qu'une fonction continue doit "passer par" toutes les valeurs intermédiaires.
Le graphe d'une fonction continue reliant deux points (a, f(a)) et (b, f(b)) doit croiser la droite y = k pour tout k entre f(a) et f(b).
Corollaire : Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Exemple : Soit f(x) = x³ - 2x + 1 continue sur ℝ.
f(0) = 1 > 0 et f(1) = 0.
Donc il existe une solution à f(x) = 0 dans [0 ; 1]. En fait, f(1) = 0, donc x = 1 est une solution.
Le TVI garantit l'existence mais pas l'unicité (sauf si on ajoute la monotonie). Une fonction peut passer par la même valeur plusieurs fois.
Énoncé : Montrer que l'équation x³ - 2x + 1 = 0 admet une solution dans [0 ; 1].
Solution :
Soit f(x) = x³ - 2x + 1. f est une fonction polynomiale, donc continue sur ℝ.
f(0) = 1 > 0 et f(1) = 1 - 2 + 1 = 0.
Donc f(1) = 0, la solution est x = 1.
Énoncé : Montrer que x³ = 3x + 1 admet exactement une solution sur ℝ.
Solution :
Soit f(x) = x³ - 3x - 1. f est polynomiale, donc continue sur ℝ.
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1).
f est strictement décroissante sur [-1 ; 1] et strictement croissante sur ]-∞ ; -1] et sur [1 ; +∞[.
Vérifier les valeurs aux extrêmes et utiliser la monotonie pour conclure l'unicité.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée f' est l'application qui, à tout x ∈ I, associe le nombre dérivé f'(x).
Notation :
f' : I → ℝ, x ↦ f'(x)
La dérivée f'(x) représente le taux de variation instantané de f au point x. Géométriquement, c'est la pente de la tangente au graphe de f.
Si on trace le graphe de f, la dérivée f' donne la "vitesse" à laquelle y change quand x change.
Si f(t) représente la position d'un objet au temps t, alors f'(t) est la vitesse instantanée de cet objet.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℕ*) | nxⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | -1/x² | ℝ* |
| 1/xⁿ (n ∈ ℕ*) | -n/xⁿ⁺¹ | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | -sin x | ℝ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
Ces formules sont dérivées de la définition de la dérivée. Par exemple, pour f(x) = xⁿ :
f'(x) = lim(h→0) [(x+h)ⁿ - xⁿ]/h = nxⁿ⁻¹
Attention au domaine de dérivabilité ! Par exemple, √x n'est pas dérivable en 0 (la tangente est verticale).
| Opération | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u' + v' |
| k · u | k · u' |
| u × v | u'v + uv' |
| 1/v (si v ≠ 0) | -v'/v² |
| u/v (si v ≠ 0) | (u'v - uv')/v² |
| uⁿ (n ∈ ℕ*) | nu'uⁿ⁻¹ |
(u × v)' = u'v + uv'
On dérive le premier et on laisse le second, plus on laisse le premier et on dérive le second.
(u/v)' = (u'v - uv')/v²
Mnémonique : "bas fois dérivée du haut moins haut fois dérivée du bas, le tout divisé par le bas au carré"
(u(v(x)))' = u'(v(x)) × v'(x)
On dérive de l'extérieur vers l'intérieur.
Exemple : f(x) = (3x² + 1)⁵
On pose u(x) = (3x² + 1)⁵ où u(v) = v⁵ et v(x) = 3x² + 1
u'(v) = 5v⁴ = 5(3x² + 1)⁴
v'(x) = 6x
f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ × 6x = 30x(3x² + 1)⁴
Soit f une fonction dérivable sur I.
La dérivée mesure la pente. Si la pente est positive partout, la fonction monte constamment. Si elle est négative partout, la fonction descend constamment.
Pour étudier les variations d'une fonction :
Si f admet un extremum local en x₀ ∈ I° (intérieur de I), alors f'(x₀) = 0.
Caractérisation : Si f'(x₀) = 0 et f'(x) change de signe en x₀, alors f(x₀) est un extremum local strict.
Énoncé : Soit f(x) = (3x² + 2)⁵. Calculer f'(x).
Solution :
f(x) = (u(x))⁵ avec u(x) = 3x² + 2
u'(x) = 6x
Par la règle de composition : f'(x) = 5(u(x))⁴ × u'(x) = 5(3x² + 2)⁴ × 6x = 30x(3x² + 2)⁴
Énoncé : Étudier les variations de f(x) = x³ - 3x et déterminer ses extrema.
Solution :
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
f' = 0 pour x = -1 et x = 1
Pour x < -1 : f'(x) > 0 (croissante)
Pour -1 < x < 1 : f'(x) < 0 (décroissante)
Pour x > 1 : f'(x) > 0 (croissante)
Donc f admet un maximum local en x = -1 (valeur f(-1) = 2) et un minimum local en x = 1 (valeur f(1) = -2)
La fonction exponentielle exp (ou x ↦ eˣ) est l'unique fonction dérivable sur ℝ satisfaisant :
On note exp(x) = eˣ où e est la base de l'exponentielle.
L'équation différentielle y' = y est très spéciale car elle demande que la fonction soit égale à sa propre dérivée. C'est une propriété extraordinaire !
e = 2,71828... est un nombre irrationnel, comme π.
On peut aussi définir e comme la limite :
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ
Les fonctions de la forme y = f(t) représentant des phénomènes de croissance ou décroissance proportionnelle satisfont y' = ky pour une constante k. La solution est y = Ce^(kt).
Exemples : croissance bactérienne, désintégration radioactive, refroidissement d'un objet.
Pour tous réels a et b :
La propriété e^(a+b) = e^a × e^b est la plus importante. Elle dit que multiplier les images correspond à additionner les exposants.
Exemple :
e² × e³ = e^(2+3) = e⁵
e^(-2) = 1/e²
(e³)² = e⁶
Ces propriétés permettent de simplifier les calculs avec des expressions exponentielles complexes.
Puisque (eˣ)' = eˣ et que eˣ > 0 pour tout x, la fonction eˣ est strictement croissante. Cela signifie que si x₁ < x₂, alors e^(x₁) < e^(x₂).
Quand x → -∞, eˣ → 0. C'est crucial pour comprendre pourquoi eˣ positive mais peut être arbitrairement proche de 0.
Quand x → +∞, eˣ → +∞ très rapidement (croissance exponentielle).
lim(x→0) (eˣ - 1)/x = 1 est la limite de la dérivée en 0 : c'est en fait e'(0) = e⁰ = 1.
L'exponentielle croît plus vite que n'importe quel polynôme :
lim(x→+∞) eˣ/xⁿ = +∞ pour tout n ∈ ℕ
Soit u une fonction dérivable. Alors :
(e^(u(x)))' = u'(x) · e^(u(x))
C'est une application de la règle de la chaîne. Si f(x) = e^(u(x)), alors on pose v = e^t et t = u(x).
f'(x) = v'(t) · t'(x) = e^t · u'(x) = e^(u(x)) · u'(x)
Exemple 1 : f(x) = e^(3x)
u(x) = 3x, donc u'(x) = 3
f'(x) = 3 · e^(3x)
Exemple 2 : f(x) = e^(x²)
u(x) = x², donc u'(x) = 2x
f'(x) = 2x · e^(x²)
À l'infini positif, on a la hiérarchie :
constantes < logarithmes < polynômes < exponentielle
L'exponentielle "gagne" toujours.
Ces limites sont cruciales pour calculer des limites complexes de quotients impliquant eˣ.
Exemple : lim(x→+∞) (x² + x + 1)/eˣ
Par croissance comparée, le dénominateur croît plus vite que le numérateur, donc la limite est 0.
Énoncé : Soit f(x) = (x + 2)e^(-x). Étudier les variations de f.
Solution :
f(x) = (x + 2)e^(-x)
En utilisant la règle du produit : f'(x) = 1 · e^(-x) + (x + 2) · (-e^(-x)) = e^(-x)(1 - x - 2) = -e^(-x)(x + 1)
f'(x) = 0 pour x = -1
Pour x < -1 : f'(x) > 0 (croissante)
Pour x > -1 : f'(x) < 0 (décroissante)
Donc f admet un maximum en x = -1 avec f(-1) = e
Énoncé : Résoudre e^(2x) = 5
Solution :
e^(2x) = 5 ⟹ 2x = ln 5 ⟹ x = ln 5 / 2
Énoncé : Calculer lim(x→+∞) x²/eˣ
Solution :
Par croissance comparée, l'exponentielle croît plus vite que les polynômes.
Donc lim(x→+∞) x²/eˣ = 0
Définition : Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante.
un+1 - un = r pour tout n (où r est la raison)
Sn = u0 + u1 + ... + un = [(n+1)(u0 + un)] / 2 = [(n+1)(2u0 + nr)] / 2
Les points (n, un) sont alignés sur une droite de pente r. C'est une fonction affine discrétisée.
Pour calculer rapidement un terme : un = u0 + nr, plutôt que de calculer tous les termes précédents.
Cas particulier important : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Exemple : Soit un = 3n - 5
un+1 - un = 3(n+1) - 5 - (3n - 5) = 3
C'est arithmétique de raison r = 3 et u0 = -5
Somme des 6 premiers termes (n=0 à 5) :
S5 = 6(u0 + u5)/2 = 6(-5 + 10)/2 = 15
Dans une suite arithmétique, chaque terme (sauf les extrêmes) est la moyenne arithmétique de ses voisins : un = (un-1 + un+1)/2
Définition : Une suite est géométrique si le quotient entre deux termes consécutifs est constant.
un+1 / un = q pour tout n (où q est la raison, un ≠ 0)
un = u0 · qn
Les suites géométriques modélisent la croissance exponentielle (si q > 1) ou la décroissance (si 0 < q < 1).
Si |q| < 1, la somme infinie converge :
u0 + u0q + u0q² + ... = u0 / (1 - q)
Exemple 1 : Soit un = 4 × (1/2)n
un+1 / un = 1/2, donc géométrique de raison q = 1/2
Puisque |q| = 1/2 < 1, on a lim(n→+∞) un = 0
Exemple 2 : Somme infinie de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Somme = 1 / (1 - 1/2) = 2
Dans une suite géométrique : un² = un-1 × un+1
Énoncé : Soit un = 3n - 5. Montrer que c'est une suite arithmétique et calculer S5 = u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5
Solution :
un+1 - un = 3(n+1) - 5 - (3n - 5) = 3
Donc (un) est arithmétique de raison r = 3 et u0 = -5
S5 = [6(u0 + u5)] / 2 = [6(-5 + 10)] / 2 = (6 × 5) / 2 = 15
Énoncé : Soit un = 4 × (1/2)n. Déterminer la limite.
Solution :
un+1 / un = 1/2, donc (un) est géométrique de raison q = 1/2
Puisque |q| = 1/2 < 1, on a lim(n→+∞) un = 0
Soit f une fonction définie sur un intervalle du type ]a ; +∞[ et L un réel.
Dire que lim(x→+∞) f(x) = L signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
De même : lim(x→-∞) f(x) = L
Si lim(x→+∞) f(x) = L (ou lim(x→-∞) f(x) = L), alors la droite y = L est asymptote horizontale à la courbe.
lim(x→+∞) f(x) = L si pour tout ε > 0, il existe N > 0 tel que pour tous x > N, |f(x) - L| < ε.
La courbe se rapproche de la droite y = L au fur et à mesure que x augmente. Les points de la courbe s'approchent arbitrairement près de la droite asymptote.
Exemple : f(x) = 1/x
lim(x→+∞) 1/x = 0
La courbe se rapproche de l'axe des x (y = 0) mais ne le touche jamais.
Parfois, la droite asymptote n'est pas horizontale. On parle d'asymptote oblique de la forme y = ax + b.
À l'infini :
lim(x→+∞) f(x) = +∞ signifie que tout intervalle du type ]A ; +∞[ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
En un point (limite infinie) :
Limite à droite : lim(x→a⁺) f(x) = +∞ signifie que f(x) devient aussi grand que voulu lorsque x s'approche de a par la droite.
Si lim(x→a⁺) f(x) = ±∞ ou lim(x→a⁻) f(x) = ±∞, la droite x = a est asymptote verticale.
lim(x→+∞) f(x) = +∞ signifie que pour tout M > 0, il existe N > 0 tel que pour tous x > N, f(x) > M.
Les limites à gauche (x→a⁻) et à droite (x→a⁺) peuvent être différentes. Une fonction peut avoir une asymptote verticale.
Exemple : f(x) = 1/(x - 3)
lim(x→3⁺) f(x) = +∞ (approche par la droite)
lim(x→3⁻) f(x) = -∞ (approche par la gauche)
La droite x = 3 est asymptote verticale.
Un zéro au dénominateur peut donner une asymptote verticale. L'ordre de multiplicité du zéro affecte le comportement près du pôle.
| Fonction | lim(x→+∞) | lim(x→0⁺) |
|---|---|---|
| 1/x | 0 | +∞ |
| 1/xn (n ∈ ℕ*) | 0 | +∞ |
| √x | +∞ | 0 |
| eˣ | +∞ | 0 (en -∞) |
| sin x, cos x | pas de limite | oscillant |
Les fonctions puissance et leurs inverses sont des références essentielles pour analyser les limites.
eˣ croît plus vite que n'importe quel polynôme (croissance comparée).
sin x et cos x oscillent infiniment, donc n'ont pas de limite quand x → ∞.
√x diverge vers +∞ mais plus lentement que x.
Les mêmes règles qu'avec les suites s'appliquent aux limites de fonctions :
Quand on rencontre une FI, il faut utiliser des techniques spéciales : factorisation, conjugué, règle de l'Hôpital, etc.
Pour ∞/∞ (quotients polynomiaux) : Factoriser par le terme dominant.
Pour ∞ - ∞ (avec racines) : Utiliser la conjugaison.
Pour 0/0 : Factoriser le numérateur et dénominateur.
Exemple de ∞/∞ :
lim(x→+∞) (3x² - 2x + 1)/(5x² + x - 3)
Factoriser par x² :
= lim x²(3 - 2/x + 1/x²) / x²(5 + 1/x - 3/x²)
= (3 - 0 + 0)/(5 + 0 - 0) = 3/5
Si lim(x→a) f(x) = b et lim(x→b) g(x) = L, alors lim(x→a) (g ∘ f)(x) = L
Énoncé : Calculer lim(x→+∞) (2x² - 3x + 1)/(x² + 5)
Solution :
Factoriser par x² au numérateur et dénominateur :
(2x² - 3x + 1)/(x² + 5) = [x²(2 - 3/x + 1/x²)] / [x²(1 + 5/x²)]
= (2 - 3/x + 1/x²) / (1 + 5/x²)
Quand x → +∞ : (2 - 0 + 0) / (1 + 0) = 2
Donc la droite y = 2 est asymptote horizontale.
Énoncé : Soit f(x) = 1/(x - 3). Trouver les asymptotes.
Solution :
Le dénominateur s'annule en x = 3
lim(x→3⁺) f(x) = +∞ et lim(x→3⁻) f(x) = -∞
Donc la droite x = 3 est asymptote verticale.
Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.
Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors il existe une constante C telle que G(x) = F(x) + C pour tout x ∈ I.
Conséquence : L'ensemble des primitives de f est de la forme {F(x) + C : C ∈ ℝ}
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
La primitivation (intégration indéfinie) est l'opération inverse de la dérivation.
Si on dérive une primitive de f, on obtient f.
La dérivée d'une constante est 0. Donc si F est une primitive de f, alors F + C l'est aussi pour n'importe quel C.
Par exemple, les primitives de 0 sont toutes les fonctions constantes.
Si on veut une primitive particulière (une seule), on peut imposer une condition initiale : F(x₀) = y₀.
Alors F(x) = G(x) - G(x₀) + y₀, où G est une primitive quelconque.
Exemple : Trouver la primitive de f(x) = 2x telle que F(1) = 3
Les primitives de 2x sont F(x) = x² + C
Condition : F(1) = 1 + C = 3, donc C = 2
La primitive particulière est F(x) = x² + 2
| Fonction f(x) | Primitive F(x) | Domaine |
|---|---|---|
| 0 | C | ℝ |
| a (constante) | ax + C | ℝ |
| xⁿ (n ∈ ℕ) | xn+1/(n+1) + C | ℝ |
| 1/x² | -1/x + C | ℝ* |
| 1/xn (n ∈ ℕ*, n > 1) | -1/[(n-1)xn-1] + C | ℝ* |
| 1/√x | 2√x + C | ]0 ; +∞[ |
| sin x | -cos x + C | ℝ |
| cos x | sin x + C | ℝ |
| eˣ | eˣ + C | ℝ |
Pour xⁿ avec n ≠ -1 :
∫ xⁿ dx = xn+1/(n+1) + C
Vérification : Primitive de x³ est x⁴/4 + C
Dérivée : (x⁴/4 + C)' = 4x³/4 = x³ ✓
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| u' + v' | u + v + C |
| k · u' | k · u + C |
| u' × un (n ≠ -1) | un+1/(n+1) + C |
| u'/u² | -1/u + C |
| u'/un (n > 1) | -1/[(n-1)un-1] + C |
| u'/√u | 2√u + C (si u > 0) |
| u' × eu | eu + C |
| u' × sin(u) | -cos(u) + C |
| u' × cos(u) | sin(u) + C |
La primitive d'une somme est la somme des primitives. La primitive d'un multiple est le multiple de la primitive.
Pour les primitives composées, on cherche à identifier u' (la dérivée de la fonction intérieure) multipliant une fonction de u.
Exemple 1 : Primitive de (2x)(x² + 1)³
On reconnaît u' × u³ avec u = x² + 1 et u' = 2x
Primitive = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C
Exemple 2 : Primitive de e^(3x)
Ici u = 3x, u' = 3
Primitive de u' × e^u = e^u + C, mais on a seulement e^u, pas 3e^u
Il faut ajuster : (1/3) × 3 × e^(3x) = (1/3) × e^(3x)
Donc primitive = (1/3)e^(3x) + C
Toujours vérifier en dérivant : si F'(x) = f(x), c'est bon !
Énoncé : Trouver les primitives de f(x) = 3x² + 2x - 5
Solution :
F(x) = 3 × (x³/3) + 2 × (x²/2) - 5x + C
= x³ + x² - 5x + C
Énoncé : Trouver la primitive de f(x) = 2x + 1 telle que F(1) = 3
Solution :
Les primitives de f sont F(x) = x² + x + C
Condition : F(1) = 1 + 1 + C = 3, donc C = 1
Donc F(x) = x² + x + 1
Fonction convexe : f est convexe sur I lorsque pour tous réels a et b de I, la partie de Cf entre les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) est située en dessous du segment [AB].
Fonction concave : f est concave sur I lorsque pour tous réels a et b de I, la partie de Cf entre les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) est située au-dessus du segment [AB].
Une fonction convexe "sourit" (comme un U) : la courbe est bombée vers le haut.
Une fonction concave "fronce les sourcils" (comme un ∩) : la courbe est bombée vers le bas.
Une route convexe donne une sensation de "rebond". Une route concave donne une sensation d'"enfoncement".
Pour une fonction convexe, les tangentes restent toujours sous la courbe. C'est une propriété puissante pour les approximations.
f(x) = x² est convexe sur ℝ (elle est bombée vers le haut)
f(x) = -x² est concave sur ℝ (elle est bombée vers le bas)
f(x) = x³ change de convexité en x = 0
Soit f dérivable sur I et f' sa fonction dérivée. Si f' est aussi dérivable sur I, la dérivée de f' s'appelle la dérivée seconde de f, notée f'' ou d²f/dx².
Soit f une fonction deux fois dérivable sur I :
Pour f(x) = x³ :
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x
Si f'(x) représente la "vitesse", alors f''(x) représente l'"accélération".
Une accélération positive (f'' > 0) signifie que la pente s'accroît, d'où la convexité.
On considère la fonction d(x) = f(x) - [f'(a)(x - a) + f(a)] qui mesure l'écart entre la courbe et la tangente au point a.
On a d'(x) = f'(x) - f'(a) et d''(x) = f''(x).
Si f''(x) ≥ 0, alors d' est croissante avec d'(a) = 0, donc d atteint son minimum en a avec d(a) = 0.
Ainsi d(x) ≥ 0 pour tout x, ce qui signifie que la courbe est au-dessus de la tangente.
Exemple : f(x) = eˣ
f'(x) = eˣ
f''(x) = eˣ > 0 pour tout x
Donc eˣ est convexe sur ℝ
Définition : Un point d'inflexion est un point de Cf où la fonction f change de convexité.
En un point d'inflexion d'abscisse a, la courbe traverse sa tangente et f''(a) = 0.
⚠️ f''(a) = 0 est nécessaire MAIS PAS suffisante pour avoir un point d'inflexion !
Il faut aussi que f'' change de signe.
Contre-exemple : f(x) = x⁴
f''(x) = 12x²
f''(0) = 0
Mais f''(x) ≥ 0 pour tout x, donc pas de changement de signe.
x = 0 n'est PAS un point d'inflexion.
Contrairement aux tangentes des points réguliers, la tangente au point d'inflexion traverse la courbe. C'est un indicateur visuel utile.
Exemple : f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x
f''(0) = 0 et f'' change de signe (négatif pour x < 0, positif pour x > 0)
Donc (0, 0) est un point d'inflexion.
Énoncé : Soit f(x) = x³ - 3x² + 1 définie sur ℝ.
Solution rapide :
f'(x) = 3x² - 6x
f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)
f''(x) = 0 ⟹ x = 1
Tableau de signe de f'' :
Cf admet un point d'inflexion en x = 1 avec f(1) = -1, soit au point (1 ; -1)
Énoncé : Soit f(x) = eˣ. Montrer que Cf est au-dessus de sa tangente en 0.
Solution rapide :
f'(x) = eˣ et f''(x) = eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ
f est convexe sur ℝ
La tangente en 0 a pour équation y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 1 · x + 1 = x + 1
Comme f est convexe, Cf est au-dessus de toutes ses tangentes
Donc eˣ ≥ x + 1 pour tout x ∈ ℝ
Définition : Soient A et B deux événements d'une même expérience aléatoire tels que p(A) ≠ 0. La probabilité de B sachant A est le nombre noté pA(B) défini par :
pA(B) = p(A ∩ B) / p(A)
Elle représente la probabilité que l'événement B se réalise sachant que A s'est réalisé.
p(A ∩ B) = pA(B) × p(A) = pB(A) × p(B)
La probabilité conditionnelle se lit "la probabilité que B arrive SACHANT que A est arrivé".
C'est comme si on restreint l'univers aux cas où A s'est produit, et on calcule quelle fraction de ces cas contient aussi B.
Une urne contient 10 jetons : 2 bleus, 5 noirs et 3 rouges.
On tire successivement 2 jetons sans remise.
A = "le premier jeton est bleu", B = "le deuxième jeton est bleu"
p(A) = 2/10 = 1/5
pA(B) = 1/9 (car après avoir tiré un bleu, il ne reste qu'1 bleu sur 9 jetons)
p(A ∩ B) = (1/5) × (1/9) = 1/45
Les arbres pondérés sont des outils visuels pour représenter les probabilités conditionnelles.
On note les probabilités sur les branches et on multiplie les probabilités le long des chemins.
Définition : Deux événements A et B sont incompatibles (ou mutuellement exclusifs) lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps, c'est-à-dire A ∩ B = ∅.
Propriété : Si A et B sont incompatibles, alors pA(B) = 0.
Deux événements incompatibles ont des diagrammes de Venn qui ne se chevauchent pas.
En lançant un dé :
A = "obtenir un nombre pair" et B = "obtenir 3"
A et B sont incompatibles car 3 est impair.
p(A ∩ B) = 0
⚠️ Incompatible ≠ Indépendant !
Deux événements incompatibles sont nécessairement dépendants (si l'un arrive, l'autre ne peut pas).
Définition de partition : Des ensembles C₁, C₂, ..., Cₙ forment une partition de l'ensemble E lorsque les Cᵢ sont deux à deux disjoints et C₁ ∪ C₂ ∪ ... ∪ Cₙ = E.
Soit E un ensemble muni d'une loi de probabilité P et C₁, C₂, ..., Cₙ des ensembles de probabilité non nulle formant une partition de E. Pour tout événement A de E :
p(A) = p(A ∩ C₁) + p(A ∩ C₂) + ... + p(A ∩ Cₙ)
ou encore :
p(A) = pC₁(A) × p(C₁) + pC₂(A) × p(C₂) + ... + pCₙ(A) × p(Cₙ)
La formule des probabilités totales dit que pour calculer p(A), on peut "conditionner" sur une partition et faire la somme.
C'est utile quand A peut arriver de plusieurs façons, par plusieurs chemins différents.
p(B) = pA(B) × p(A) + pĀ(B) × p(Ā)
Exemple : Dans une classe, 60% des élèves font du sport (S) et 40% n'en font pas (S̄).
Parmi ceux qui font du sport, 80% ont de bonnes notes (N).
Parmi ceux qui ne font pas de sport, 50% ont de bonnes notes.
Quelle est la probabilité qu'un élève ait de bonnes notes ?
p(N) = pS(N) × p(S) + pS̄(N) × p(S̄)
= 0,8 × 0,6 + 0,5 × 0,4
= 0,48 + 0,2 = 0,68
Cette formule est essentielle pour résoudre les problèmes complexes d'arbres pondérés.
Définition : Deux événements A et B sont indépendants lorsque :
p(A ∩ B) = p(A) × p(B)
Si p(A) ≠ 0 et p(B) ≠ 0, alors A et B sont indépendants si et seulement si :
pA(B) = p(B) ou pB(A) = p(A)
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont aussi indépendants.
A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre.
Mathématiquement, cela veut dire que pA(B) = p(B) : la probabilité de B ne change pas si on sait que A s'est réalisé.
Indépendants : Lancer deux dés. Le résultat du premier n'affecte pas le second.
Dépendants : Tirer deux cartes sans remise. Le résultat du premier tirage affecte le second.
Soit A et B indépendants. Puisque B et B̄ forment une partition :
p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B̄) = p(A) × p(B) + p(A ∩ B̄)
Donc : p(A ∩ B̄) = p(A) × [1 - p(B)] = p(A) × p(B̄)
Ce qui prouve l'indépendance.
Exemple : Soit A = "la pièce tombe sur Pile" et B = "la pièce tombe sur Face"
A et B sont incompatibles (donc dépendants).
p(A) = 1/2, p(B) = 1/2, p(A ∩ B) = 0
1/4 ≠ 0, donc ils ne sont pas indépendants.
Énoncé : Une urne contient 10 jetons : 2 bleus, 5 noirs et 3 rouges. On tire successivement 2 jetons sans remise. Calculer la probabilité de tirer un bleu au deuxième tirage sachant que le premier est bleu.
Solution rapide :
Après le premier tirage bleu, il reste 9 jetons (1 bleu, 5 noirs, 3 rouges).
pB1(B2) = 1/9
Énoncé : Dans une classe, 60% des élèves font du sport (S) et 40% n'en font pas. Parmi ceux qui font du sport, 80% ont de bonnes notes. Parmi ceux qui ne font pas de sport, 50% ont de bonnes notes. Quelle est la probabilité qu'un élève ait de bonnes notes (N) ?
Solution rapide :
S et S̄ forment une partition.
p(N) = pS(N) × p(S) + pS̄(N) × p(S̄)
= 0,8 × 0,6 + 0,5 × 0,4
= 0,48 + 0,2 = 0,68
Énoncé : Soit deux événements A et B avec p(A) = 0,3, p(B) = 0,4 et p(A ∩ B) = 0,12. Sont-ils indépendants ?
Solution rapide :
p(A) × p(B) = 0,3 × 0,4 = 0,12
Puisque p(A ∩ B) = 0,12 = p(A) × p(B), les événements sont indépendants.
Définition : Un trinôme du second degré est un polynôme de la forme P(x) = ax² + bx + c où a, b, c sont des réels et a ≠ 0.
Définition : Une racine du trinôme est un nombre réel r tel que P(r) = 0.
Tout trinôme P(x) = ax² + bx + c peut s'écrire sous la forme :
P(x) = a(x - α)² + β
où α = -b/(2a) et β = (4ac - b²)/(4a) = -Δ/(4a)
P(x) = a[x² + (b/a)x + c/a]
= a[(x + b/(2a))² - b²/(4a²) + c/a]
= a[(x + b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a²)]
= a(x - α)² + β où α = -b/(2a) et β = -Δ/(4a)
Le sommet S de la parabole est au point (α, β) = (-b/(2a), -Δ/(4a))
C'est le maximum si a < 0, le minimum si a > 0.
La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale x = α = -b/(2a)
Exemple : P(x) = 2x² - 8x + 6
a = 2, b = -8, c = 6
α = -(-8)/(2×2) = 2, β = (4×2×6 - 64)/(4×2) = (48 - 64)/8 = -2
Forme canonique : P(x) = 2(x - 2)² - 2
Sommet : (2, -2)
Théorème : Soit Δ = b² - 4ac
L'équation ax² + bx + c = 0 n'admet pas de solution réelle.
Le trinôme ne peut pas être factorisé sur ℝ.
L'équation admet une solution unique (double) : x₀ = -b/(2a)
Forme factorisée : P(x) = a(x - x₀)²
L'équation admet deux solutions distinctes :
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
Forme factorisée : P(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Δ < 0 : la parabole ne coupe pas l'axe des x
Δ = 0 : la parabole touche l'axe des x en un point (le sommet)
Δ > 0 : la parabole coupe l'axe des x en deux points distincts
Si b = 0, l'équation devient ax² + c = 0, soit x² = -c/a
Si -c/a > 0, on a x = ±√(-c/a)
Si c = 0, l'équation devient ax² + bx = 0, soit x(ax + b) = 0
Solutions : x = 0 ou x = -b/a
Exemple : Résoudre 2x² - 5x + 3 = 0
Δ = (-5)² - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 - 1)/(2×2) = 1 et x₂ = (5 + 1)/(2×2) = 3/2
Factorisation : 2(x - 1)(x - 3/2) ou (x - 1)(2x - 3)
Théorème : Si x₁ et x₂ sont les deux racines du trinôme ax² + bx + c = 0, alors :
x₁ + x₂ = -b/a et x₁ × x₂ = c/a
Si deux réels x₁ et x₂ vérifient x₁ + x₂ = S et x₁ × x₂ = P, alors ils sont solutions de l'équation t² - St + P = 0
En factorisant : P(x) = a(x - x₁)(x - x₂) = a[x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂]
Donc : P(x) = ax² - a(x₁ + x₂)x + ax₁x₂
Comparant avec P(x) = ax² + bx + c :
b = -a(x₁ + x₂) ⟹ x₁ + x₂ = -b/a
c = ax₁x₂ ⟹ x₁x₂ = c/a
Ces formules permettent de vérifier rapidement si deux nombres sont racines d'un trinôme.
Exemple : Trouver deux nombres ayant pour somme 5 et pour produit 6
Ils sont solutions de t² - 5t + 6 = 0
Δ = 25 - 24 = 1
t₁ = (5 - 1)/2 = 2 et t₂ = (5 + 1)/2 = 3
Vérification : 2 + 3 = 5 ✓ et 2 × 3 = 6 ✓
Théorème du signe : Soit P(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0
P(x) a toujours le signe de a pour tout x ∈ ℝ
P(x) a toujours le signe de a pour tout x ≠ x₀
| x | -∞ | x₁ | x₂ | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| P(x) | signe de a | 0 | signe de -a | 0 | signe de a |
Résumé mnémonique : "La parabole part du signe de a, s'annule aux racines, puis revient au signe de a."
a > 0 : parabole "sourit" (convexe)
a < 0 : parabole "fronce les sourcils" (concave)
Les tableaux de signe permettent de résoudre des inéquations du second degré.
Exemple : Étudier le signe de P(x) = -x² + 4x - 3
a = -1 < 0
Δ = 16 - 12 = 4
x₁ = (4 - 2)/(-2) = -1... Attends, laisse-moi recalculer.
x₁ = (-4 - 2)/(-2) = 3 et x₂ = (-4 + 2)/(-2) = 1
Donc x₁ = 1 et x₂ = 3
Tableau :
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ | |
| P(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Énoncé : Résoudre l'équation 2x² - 5x + 3 = 0 et factoriser le trinôme.
Solution rapide :
Δ = (-5)² - 4 × 2 × 3 = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 - 1) / 4 = 1 et x₂ = (5 + 1) / 4 = 3/2
Factorisation : 2x² - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - 3/2) = (x - 1)(2x - 3)
Énoncé : Étudier le signe de P(x) = -x² + 4x - 3
Solution rapide :
Δ = 16 - 12 = 4
Racines : x₁ = (4 - 2) / (-2) = -1... Recalcul : x = (-4 ± 2) / (-2)
x₁ = 1 et x₂ = 3
Puisque a = -1 < 0, le trinôme est négatif en dehors des racines :
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ | |
| P(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Énoncé : Soient x₁ et x₂ deux nombres tels que x₁ + x₂ = 5 et x₁ × x₂ = 6. Trouver x₁ et x₂.
Solution rapide :
x₁ et x₂ sont solutions de t² - 5t + 6 = 0
Δ = 25 - 24 = 1
x₁ = 2 et x₂ = 3
Définition : Le cardinal d'un ensemble fini E ayant n éléments, noté Card(E), est le nombre entier n.
Remarque : Card(∅) = 0
Soient A₁, A₂, ..., Aₙ des ensembles finis deux à deux disjoints. Alors :
Card(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ) = Card(A₁) + Card(A₂) + ... + Card(Aₙ)
Définition : A × B = {(x;y) | x ∈ A et y ∈ B}
Théorème : Si A et B sont des ensembles finis non vides, alors :
Card(A × B) = Card(A) × Card(B)
Généralisation (p-uplets) : Le nombre de p-uplets d'éléments d'un ensemble E à n éléments est nᵖ
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats principaux, et 4 desserts.
Si on choisit une entrée OU un plat OU un dessert (un seul), il y a 5 + 8 + 4 = 17 possibilités.
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats principaux, et 4 desserts.
Si on choisit une entrée ET un plat ET un dessert, il y a 5 × 8 × 4 = 160 menus.
Combien de codes à 4 chiffres ? 10⁴ = 10 000 (chaque position peut avoir 10 valeurs 0-9)
Combien de mots de 3 lettres de l'alphabet ? 26³ = 17 576
Définition : Une permutation d'un ensemble E à n éléments est un n-uplet composé d'éléments deux à deux distincts de E.
Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est :
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4! = 120
Pour ordonner n objets distincts :
- Choix pour la première position : n
- Choix pour la deuxième position : n-1 (un objet est déjà placé)
- Choix pour la troisième position : n-2
- ...
- Choix pour la dernière position : 1
Total : n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 = n!
De combien de façons peut-on disposer 5 élèves dans une file d'attente ? 5! = 120
Définition : Un arrangement de p éléments d'un ensemble E à n éléments est un p-uplet d'éléments deux à deux distincts de E.
Le nombre d'arrangements de p éléments parmi n (avec 0 ≤ p ≤ n) est noté Aₙᵖ et vaut :
Aₙᵖ = n × (n-1) × ... × (n - p + 1) = n! / (n-p)!
Aₙⁿ = n!
Pour choisir p éléments ORDONNÉS parmi n :
- Choix pour la première position : n
- Choix pour la deuxième position : n-1
- ...
- Choix pour la p-ième position : n - p + 1
Total : n × (n-1) × ... × (n - p + 1) = n! / (n-p)!
Exemple : Un code à 3 chiffres distincts choisis parmi {0, 1, 2, ..., 9}
A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720
Les permutations ordonnent TOUS les éléments (p = n).
Les arrangements ordonnent p éléments choisis parmi n (p ≤ n).
Définition : Une combinaison de p éléments d'un ensemble E à n éléments est une partie (ensemble) à p éléments de E. L'ordre n'importe pas.
Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n (avec 0 ≤ p ≤ n) est noté C(n,p) ou (n choose p) et vaut :
C(n,p) = n! / [p!(n-p)!] = [n × (n-1) × ... × (n - p + 1)] / [p × (p-1) × ... × 1]
Aₙᵖ = C(n,p) × p! (parce que chaque combinaison peut être ordonnée de p! façons)
Le triangle de Pascal permet de calculer rapidement les coefficients binomiaux :
| n=0 | 1 | |||||
| n=1 | 1 | 1 | ||||
| n=2 | 1 | 2 | 1 | |||
| n=3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| n=4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| n=5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
Théorème : Pour tous réels a et b et tout entier naturel n :
(a + b)ⁿ = Σ(p=0 à n) C(n,p) × aⁿ⁻ᵖ × bᵖ
Exemple : (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Σ(p=0 à n) C(n,p) = 2ⁿ
Exemple : C(25,3) = (25 × 24 × 23) / (3 × 2 × 1) = 13 800 / 6 = 2 300
Une classe de 25 élèves. On en choisit 3 pour former un groupe. Il y a 2 300 façons.
Énoncé : De combien de façons peut-on disposer 5 élèves dans une file d'attente ?
Solution rapide :
C'est le nombre de permutations de 5 éléments.
Réponse : 5! = 120
Énoncé : Une classe compte 25 élèves. On en choisit 3 pour former un groupe de travail. De combien de façons peut-on les choisir ?
Solution rapide :
L'ordre n'importe pas (c'est un groupe, pas une hiérarchie).
Réponse : C(25,3) = (25 × 24 × 23) / (3 × 2 × 1) = 13 800 / 6 = 2 300
Énoncé : Développer (x + 2)⁴
Solution rapide :
Utiliser le binôme avec a = x, b = 2, n = 4 :
(x + 2)⁴ = C(4,0)x⁴ + C(4,1)x³ · 2 + C(4,2)x² · 4 + C(4,3)x · 8 + C(4,4) · 16
= x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16
Définition : Une variable aléatoire est une application X de l'univers Ω dans ℝ. Autrement dit, à chaque résultat d'une expérience aléatoire, on associe un nombre réel.
Si x₁, x₂, ..., xₙ sont les valeurs prises par X, on note (X = xᵢ) l'événement "la variable aléatoire X prend la valeur xᵢ".
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience.
Exemple : on lance un dé, X = résultat du dé. Alors X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
On lance une pièce : Ω = {P, F} (Pile, Face)
On définit X : X(P) = 0, X(F) = 1
Maintenant X est numérique et on peut l'analyser probabilistiquement.
L'événement (X = xᵢ) est l'ensemble de tous les résultats ω ∈ Ω tels que X(ω) = xᵢ
La probabilité p(X = xᵢ) est la somme des probabilités des résultats qui donnent xᵢ
Définition : La loi de probabilité (ou distribution) d'une variable aléatoire X est la fonction qui à chaque valeur xᵢ associe la probabilité p(X = xᵢ).
On la présente souvent sous forme de tableau :
| xᵢ | x₁ | x₂ | ... | xₙ |
|---|---|---|---|---|
| p(X = xᵢ) | p₁ | p₂ | ... | pₙ |
Propriété : Σ(i=1 à n) pᵢ = 1
1. Identifier toutes les valeurs possibles de X
2. Pour chaque valeur xᵢ, calculer la probabilité p(X = xᵢ) en identifiant les résultats de Ω qui donnent cette valeur
3. Vérifier que la somme des probabilités égale 1
Exemple : On lance un dé. X = résultat du dé.
Loi de X :
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Somme : 6 × (1/6) = 1 ✓
Définition : L'espérance (ou moyenne) d'une variable aléatoire X prenant les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec les probabilités respectives p₁, p₂, ..., pₙ est :
E(X) = Σ(i=1 à n) xᵢ × p(X = xᵢ) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xₙpₙ
Interprétation : L'espérance représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre d'expériences.
X = résultat du dé
E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6)
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5
E(aX + b) = aE(X) + b
Un jeu est équitable si E(gain) = 0
E(gain) > 0 : jeu favorable au joueur
E(gain) < 0 : jeu défavorable au joueur
Exemple : Jeu de roulette. Miser 1€ sur rouge. Si rouge, on gagne 2€. Sinon, on perd 1€.
Supposons p(rouge) = 18/37
Gain = 2 avec probabilité 18/37, Gain = -1 avec probabilité 19/37
E(gain) = 2×(18/37) + (-1)×(19/37) = 36/37 - 19/37 = 17/37 ≈ 0,46
Légèrement favorable au joueur, mais c'est la maison qui gagne en moyenne !
Définition (Variance) : La variance d'une variable aléatoire X est :
V(X) = Σ(i=1 à n) p(X = xᵢ) × (xᵢ - E(X))²
Formule de calcul pratique :
V(X) = E(X²) - [E(X)]²
Définition (Écart-type) : L'écart-type d'une variable aléatoire X est :
σ(X) = √V(X)
Interprétation : La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. L'écart-type en est la racine carrée (même unité que X).
V(aX + b) = a²V(X) (attention : le b disparaît !)
σ(aX + b) = |a| × σ(X)
E(X) = 3,5 (calculé précédemment)
E(X²) = 1²×(1/6) + 2²×(1/6) + ... + 6²×(1/6) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6
V(X) = 91/6 - (3,5)² = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12 ≈ 2,92
σ(X) = √(35/12) ≈ 1,71
Une variance faible signifie que les valeurs sont concentrées autour de E(X).
Une variance forte signifie que les valeurs sont dispersées.
Exemple comparatif :
Variable A : E(A) = 10, σ(A) = 0,1 (très stable)
Variable B : E(B) = 10, σ(B) = 5 (très variable)
Même espérance, mais comportements très différents !
Théorème : Si Y = aX + b où a et b sont des réels, alors :
Additionner une constante b décale la moyenne de b, mais ne change pas la variance (la dispersion).
Multiplier par a dilate (ou contracte) les valeurs, ce qui multiplie la variance par a².
Y = X + 5 : E(Y) = E(X) + 5, V(Y) = V(X)
Y = 2X : E(Y) = 2E(X), V(Y) = 4V(X)
Y = -X + 10 : E(Y) = -E(X) + 10, V(Y) = V(X), σ(Y) = σ(X)
On crée souvent Z = (X - E(X)) / σ(X)
Alors E(Z) = 0 et σ(Z) = 1
Cela permet de comparer des variables d'unités différentes.
Exemple : Y = 2X + 1 avec E(X) = 3, V(X) = 4
E(Y) = 2(3) + 1 = 7
V(Y) = 2² × 4 = 16
σ(Y) = 2 × 2 = 4
Énoncé : On lance un dé équilibré. Soit X le nombre obtenu. Calculer l'espérance.
Solution rapide :
X prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 avec probabilité 1/6 chacun.
E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + ... + 6×(1/6) = (1+2+...+6)/6 = 21/6 = 3,5
Énoncé : Soit X la variable de l'exemple 1. Calculer la variance.
Solution rapide :
E(X²) = 1²×(1/6) + 2²×(1/6) + ... + 6²×(1/6) = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6
V(X) = E(X²) - [E(X)]² = 91/6 - (3,5)² = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12 ≈ 2,92
σ(X) = √(35/12) ≈ 1,71
Énoncé : Soit Y = 2X + 1 où X est la variable de l'exemple 1. Calculer E(Y) et V(Y).
Solution rapide :
E(Y) = 2E(X) + 1 = 2×3,5 + 1 = 8
V(Y) = 2²×V(X) = 4×(35/12) = 35/3
Par le projeté orthogonal : Si H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AB) (où u→ = AB→ et v→ = AC→), alors :
u→ · v→ = AB→ · AC→ = AB × AH
où AH est la mesure algébrique (positive si H et B sont du même côté de A, négative sinon)
Si u→ = (x, y) et v→ = (x', y') dans un repère orthonormal, alors :
u→ · v→ = xx' + yy'
Si θ est l'angle entre u→ et v→, alors :
u→ · v→ = ||u→|| × ||v→|| × cos(θ)
Ces trois définitions sont équivalentes. On choisit celle qui est la plus pratique selon le contexte :
cos(θ) = (u→ · v→) / (||u→|| × ||v→||)
Cela permet de calculer l'angle entre deux vecteurs !
Exemple : u→ = (1, 1), v→ = (1, -1)
u→ · v→ = 1×1 + 1×(-1) = 0
Les vecteurs sont orthogonaux (angle de 90°)
u→ · v→ = v→ · u→
u→² = u→ · u→ = ||u→||²
u→ ⊥ v→ ⟺ u→ · v→ = 0
||u→ + v→||² = (u→ + v→) · (u→ + v→) = u→ · u→ + 2u→ · v→ + v→ · v→ = ||u→||² + 2u→ · v→ + ||v→||²
|u→ · v→| ≤ ||u→|| × ||v→||
L'égalité se produit si et seulement si u→ et v→ sont colinéaires.
Dans un triangle ABC :
BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(Â)
Exemple : Vérifier qu'un triangle est rectangle
Triangle ABC avec A(0,0), B(3,0), C(0,4)
AB→ = (3,0), AC→ = (0,4)
AB→ · AC→ = 3×0 + 0×4 = 0
Donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Triangle rectangle en A.
Énoncé : Soit A(-1; 2), B(3; 1) et C(2; 4). Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Solution rapide :
AB→ = (4, -1), AC→ = (3, 2)
AB→ · AC→ = 4×3 + (-1)×2 = 12 - 2 = 10 ≠ 0
Donc le triangle n'est pas rectangle en A. (Recalcul : AB→ = (3-(-1), 1-2) = (4, -1) ✓, AC→ = (2-(-1), 4-2) = (3, 2) ✓)
AB→ · AC→ = 4×3 + (-1)×2 = 10 ≠ 0 ✓
Énoncé : Calculer l'angle θ entre u→ = (1, 1) et v→ = (1, -1)
Solution rapide :
u→ · v→ = 1×1 + 1×(-1) = 0
Les vecteurs sont orthogonaux, donc θ = 90°
180° = π rad ou 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°
| Angle (°) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Angle (rad) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 |
Les radians sont l'unité naturelle en mathématiques. Ils permettent des formules plus simples, notamment pour les dérivées :
(sin x)' = cos x (si x est en radians)
(sin x)' = (π/180) cos x (si x est en degrés - plus compliqué !)
Un radian correspond à l'angle au centre d'un arc de longueur égale au rayon.
La circonférence du cercle unité est 2π, donc un tour complet = 2π rad = 360°.
Pour sin et cos à 30°, 45°, 60° :
sin: 1/2, √2/2, √3/2 (croissant)
cos: √3/2, √2/2, 1/2 (décroissant)
Les valeurs sont : 1/2, √2/2, √3/2 pour les angles majeurs.
sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x
Chaque formule d'angle associé correspond à une symétrie du cercle :
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
Cela signifie qu'elles se répètent tous les 2π.
C'est pour cela qu'on résout sin x = a en donnant une famille infinie de solutions.
Exemple : Simplifier sin(π + x) + cos(π/2 - x)
sin(π + x) = -sin x
cos(π/2 - x) = sin x
Somme = -sin x + sin x = 0
cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ (pour k ∈ ℤ)
sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ (pour k ∈ ℤ)
Parce que sin et cos sont périodiques de période 2π, si x₀ est une solution, alors x₀ + 2kπ est aussi une solution pour tout k ∈ ℤ.
L'équation sin x = sin a a deux familles de solutions à cause de la symétrie du cercle.
Quand on demande les solutions dans [0; 2π[, on prend les valeurs de la forme générale qui tombent dans cet intervalle.
Exemple 1 : Résoudre cos x = -√2/2 pour x ∈ [0; 2π[
cos(3π/4) = -√2/2 et cos(5π/4) = -√2/2
Solutions dans [0; 2π[ : x = 3π/4 et x = 5π/4
Exemple 2 : Résoudre sin x = 1/2 pour x ∈ [0; 2π[
sin(π/6) = 1/2 et sin(5π/6) = 1/2
Solutions dans [0; 2π[ : x = π/6 et x = 5π/6
tan x = tan a ⟺ x = a + kπ (pour k ∈ ℤ)
Attention : la tangente a une période de π, pas 2π !
Énoncé : Simplifier sin(π + x) + cos(π/2 - x)
Solution rapide :
sin(π + x) = -sin x
cos(π/2 - x) = sin x
sin(π + x) + cos(π/2 - x) = -sin x + sin x = 0
Énoncé : Résoudre cos x = -√2/2 pour x ∈ [0; 2π[
Solution rapide :
cos(3π/4) = -√2/2 et cos(5π/4) = -√2/2
Les solutions dans [0; 2π[ sont x = 3π/4 et x = 5π/4